次の二つがある。

1. 小定理……整数θが素数ρの倍数でなければ，θ^ρ-1−１はρで割り切れる。
2. 大定理（最終定理）……nが２より大きい自然数ならば，xⁿ＋yⁿ＝zⁿとなる整数x，y，zの組は存在しない。

1960年代　　「谷山・志村予想」

　1950年代に谷山豊・東大助教授 (1927〜1958) が着想した予想を、共同研究者の志村五郎・米プリントスン大教授が定式化。
　有理数 （分子分母共に整数から成る分数、但し分母≠０）を係数とする方程式が表す楕円曲線は全て、非常に美しい対称性を持つ「保型形式」という関数に結びつく、というもの。
　これはフェルマーの最終定理を拡張したものと考えられる。

1995

　米プリンストン大学のアンドリュー・ワイルズ教授は、「谷山・志村予想」が一部の楕円に対して成立することを証明する形で、フェルマーの最終定理の一般的証明に成功。

1999年７月18日

　米ハーバード大のブライアン・コンラッド助教授、リチャード・テーラー教授ら４人の米仏研究チームが、楕円曲線の対称性を保証する「谷山・志村予想」を完全証明したらしいことが分かる。
　ちなみにテーラー教授はワイルズ教授の証明を手伝った人物。